Fonctions usuelles

IFonctions linéaires et fonctions affines

Expression algébrique

Soient \(a\) et \(b\) sont des réels, alors La fonction $$f (x)=a x+b $$ est une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\)
\(a\) est le coefficient directeur et \(b\) l'ordonnée à l'origine.
La représentation graphique est une droite qui coupe l'axe des abscisses en \(x=\frac{-b}{a}\)
Si \(b=0\), la droite passe par l'origine, et la fonction est linéaire.

Cas où \(a\lt 0\)

Représentation graphique

Si \(a\lt 0\), la représentation graphique est une droite décroissante.

Tableau de variation \(a\lt 0\)

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & -b/a & & +\infty\\\hline f (x) & & & \searrow\hspace{-0.4cm}0 & & \\ \end{array} $$

Cas où \(a\gt 0\)

Représentation graphique

Si \(a\gt 0\), la représentation graphique est une droite croissante.

Tableau de variation \(a\lt 0\)

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & -b/a & & +\infty\\\hline f (x) & & & \nearrow\hspace{-0.4cm}0 & & \\ \end{array} $$

IIFonction carré \(x \mapsto x^2\)

Expression algébrique

La fonction carré définie sur \(\mathbb{R}\) a pour équation : $$f (x)=x^2 $$
La courbe représentative s'appelle une parabole.
  • La courbe représentative passe par l'origine.
  • La fonction carré est positive sur \(\mathbb{R}\)

Représentation graphique

Tableau de signes

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & 0 & & +\infty\\\hline f (x) & & + & |\hspace{-0.15cm}0 & + & \\ \end{array} $$
La fonction carré est positive sur \(]-\infty;+\infty[\)

Tableau de variations

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & 0 & & +\infty\\\hline f (x) & & \searrow & 0 & \nearrow & \\ \end{array} $$
La fonction carré est
  • décroissante sur \(]-\infty;0]\)
  • croissante sur \([0;+\infty[\)
La fonction carré est croissante sur \([0;+\infty[\).
La preuve de cette propriété est détaillée pas à pas ci-dessous :
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Stratégie

Pour montrer qu'une fonction \(f\) est croissante, il faut vérifier que si on a \(a \lt b\), alors \(f (a) \lt f (b)\)

Départ

Soient \(a\) et \(b\) dans \([0;+\infty[\) tels que \(a \lt b\), on essaye de montrer que \(f (a) \lt f (b)\), qui revient à montrer que :

$$ f (a) - f (b) \lt 0 $$

On va donc étudier le signe de \(f (a) - f (b) = a^2 - b^2\)

Etape astucieuse

On se souvient que \(a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)\)

On édudie le signe des membres du produit :

  • \(a-b \lt 0\) car on a supposé au départ que \(a \lt b\)
  • \(a+b \gt 0\) car on a supposé au départ que \(a\) et \(b\) sont dans \([0;+\infty[\) (et donc positifs)
Et donc, le résultat du produit \(a^2 - b^2 \lt 0\)

Conclusion

On vient de montrer que \(f (a) - f (b) \lt 0\), cqfd

La fonction carré est bien croissante sur \([0;+\infty[\)

IIIFonction inverse \(x \mapsto \frac{1}{x}\)

Expression algébrique

La fonction inverse définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{0\}\) a pour équation : $$f (x)=\frac{1}{x} $$
La courbe représentative s'appelle une hyperbole.
  • La courbe représentative n'est pas définie pour \(x=0\)

Représentation graphique

Tableau de signes

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & 0 & & +\infty\\\hline f (x) & & - & \Vert & + & \\ \end{array} $$
La fonction inverse est
  • négative sur \(]-\infty;0[\)
  • positive sur \(]0;+\infty[\)

Tableau de variations

$$ \begin{array}{c|lcccr|} x &-\infty & & 0 & & +\infty\\\hline f (x) & & \searrow & \Vert & \searrow & \\ \end{array} $$
La fonction inverse est
  • décroissante sur \(]-\infty;0[\)
  • décroissante sur \(]0;+\infty[\)